Skip navigation.
Home
Jestem wesoły Romek (?) ...

(Praktyczna) zagadka matematyczna.

Niezbyt poważne

Matematyka_niepewnosci.jpgJestem przekonany, że – przynajmniej tym, co napisałem o książce Mlodinova – nie przekonałem nikogo (lepiej - JEST MAŁO PRAWDOPODOBNE, że przekonałem) o praktycznej wartości matematyki … chyba, że:

Przypuśćmy, że uczestnik teleturnieju ma do wyboru troje drzwi. Za jednymi drzwiami jest samochód, za dwojgiem pozostałych kozy. Gdy uczestnik dokona już wyboru, prowadzący - który wie, co jest za każdymi drzwiami - otwiera jedne z dwojga drzwi, które nie zostały wskazane, i pokazuje, że jest za nimi koza, a następnie pyta: „Czy chce pan zmienić wcześniejszą decyzję i wybrać inne drzwi?". Czy uczestnikowi teleturnieju opłaca się zmienić decyzję?

Zagadka zainspirowana jest scenariuszem prawdziwego teleturnieju (emitowanego także w Polsce) i ma – nieprawdopodobną wprost – historię, którą chętnie opiszę, ale na razie, użycie jakichkolwiek faktów czy nazwisk byłoby przesadnym ułatwieniem (w googlowaniu).

koza vs samochód

1. Pierwszy etap - pierwotyny wybór drzwi:
a) z samochodem, z prawdopodobieństwem P(A) = 1/3.
b) z kozą, z prawdopodobieństwem P(A') = 2/3.

2. Drugi etap - prowadzący ujawnia inne drzwi (zawsze z kozą):
a) Jeśli pierwszy wybór wskazywał na samochód - otwarte zostają jedne z dwu równorzędnych drzwi, za którymi stoi koza. Strategia zmiany wyboru przynosi pewną porażkę (skazuje nas na kozę). Przy zmianie wyboru, prawdopodobieństwo wygrania samochodu pod warunkiem wcześniejszego trafnego wyboru wynosi P(B|A) = 0 i jest całkowicie intuicyjne (mieliśmy właściwie wskazany samochód, zmieniliśmy zdanie - dostajemy kozę).

b) Jeśli pierwotny wybór padł na kozę - ujawnione zostają jedyne pozostałe drzwi z kozą. W drugich (nie otwartych ani nie wybranych początkowo) z pewnością znajduje się samochód. To cały kruczek, który trzeba zauważyć. Wybór zmiany drzwi przynosi pewny sukces pod warunkiem, że pierwotny wybór był błędny. Dla strategii zmiany zdania, prawdopodobieństwo wygrania samochodu, pod warunkiem, że w pierwszej fazie dokonało się wyboru kozy wynosi P(B|A') = 1.

Przy strategii - "trwam przy pierwotnym wyborze" szansa na samochód wynosi więc: 1/3 * 1 + 2/3 * 0 - 0 = 1/3. Przy strategii "zmieniam wybór przy drugim pytaniu" szansa wynosi: 1/3 * 0 + 2/3 * 1 - 0 = 2/3.

Hura. Chcemy przeczytać nieprawdopodobną historię z nazwiskami i faktami.