Paradoks Monty Halla - rozwiązany

Brawo i ukłony. Jestem dumny, że mam do czynienia z tak nieprzeciętnie inteligentnymi ludźmi.

Zadanie o kozach i samochodzie nazywane jest w literaturze „Paradoksem Monty Halla” i pochodzi z listu pewnego czytelnika „Parade” – popularnego niedzielnego dodatku rozprowadzanego z wieloma innymi gazetami w USA. Jedną ze stałych rubryk magazynu jest kącik zagadkowy „Zapytaj Marilyn”, w którym czytelnicy, praktyczni amerykanie, zadają pytania typu:

• Gdy pod koniec dnia zamyka się giełdę, dlaczego wszyscy stoją z uśmiechami na twarzach i klaszczą niezależnie od tego, czy akcje idą w górę, czy w dół?
• Moja przyjaciółka jest w ciąży i wie, że to bliźniaki dwujajowe. Jakie są szansę, że przynajmniej jedno z dzieci będzie dziewczynką?
• Dlaczego zapach zdechłego skunksa, obok którego przejeżdżamy drogą, zaczynamy odczuwać dopiero po około 10 sekundach? (Zakładamy, że to nie my przejechaliśmy skunksa).

Bardzo mądre to nie jest, ale zauważmy, że w każdym (z przytoczonych) pytań zawarta jest nutka, która ma naukowy lub matematyczny charakter. To typowa cecha wielu pytań pojawiających się w tym dziale.

Kącik w „Parade” prowadzi (do dziś) pani Marilyn vos Savant, słynna z tego, że jest kobietą o najwyższym ilorazie inteligencji (wg. Księgi rekordów Guinnessa). Pytanie o kozie pojawiło się w „Zapytaj Marilyn” 9 września 1990 roku a nazwane zostało od nazwiska i imienia prowadzącego (pana Monty Hall’a) popularny teleturniej „Let’s Make a Deal” (u nas naśladowany w „Idź na całość”). Choć samo pytanie nie było wcale oryginalne a sam problem matematyczny („Problem trzech więźniów” 1959, „Paradoks Bertranda (skrzynka z monetami, trzy karty) 1889”) znany był już dawno, to właśnie spór o odpowiedź unieśmiertelnił zarówno Marilyn, jak i sam teleturniej, za sprawą gwałtowności, z jaką czytelnicy zareagowali na tekst rubryki. Wydaje się przecież, że chodzi o głupstwo: jest dwoje drzwi; otwierając jedne, wygrywamy, a otwierając drugie, przegrywamy - wydaje się więc oczywiste, że niezależnie od tego, czy zmienimy wcześniejszą decyzję, czy nie, prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/2. To przecież proste.

Natomiast Marilyn, podobnie jak Tomek, odpowiedziała: „Należy zmienić decyzję”. Wtedy się zaczęło.

[cytuję…]Pomimo przysłowiowej wręcz obojętności opinii publicznej na sprawy matematyczne, czytelnicy Marilyn zareagowali tak, jakby zaproponowano im oddanie Kalifornii Meksykowi. To, że zakwestionowała oczywistą, jak się wydawało, odpowiedź, zaowocowało lawiną - jak szacowała sama Marilyn - około 10 000 listów.

Pytając Amerykanów o to, czy rzeczywiście uważają, że rośliny przyczyniają się do zwiększenia ilości tlenu w powietrzu, że prędkość światła jest większa od prędkości dźwięku albo że picie radioaktywnego mleka po jego uprzednim przegotowaniu nie jest bezpieczne, dostajemy zauważalną liczbę odpowiedzi przeczących (w przytoczonych przykładach odpowiednio 12, 24 i 35%). Jednak w sprawie kozy Amerykanie byli niemal jednomyślni: 92% z nich uważało, że Marilyn nie ma racji.

Wielu czytelników odczuwało zawód. Jak to możliwe, by osoba, której ufali w tak wielu sprawach, pogubiła się przy tak prostym pytaniu? Czy jej pomyłka była symbolem godnej pożałowania ignorancji rozpowszechnionej wśród Amerykanów? Wśród autorów listów było blisko tysiąc posiadaczy doktoratów, w tym wielu profesorów matematyki, którzy zareagowali ze szczególnym wzburzeniem. „Zawaliła Pani sprawę", napisał pewien matematyk z Uniwersytetu George'a Masona: Proszę pozwolić, że to wyjaśnię: jeśli wskażemy, za którymi drzwiami jest koza, to ta informacja zwiększy prawdopodobieństwo każdego z dwóch pozostałych wyborów - a nie ma wszak żadnego powodu, by któryś z nich był bardziej prawdopodobny niż ½ . Jako zawodowy matematyk martwię się bardzo zupełnym brakiem znajomości matematyki wśród laików. Proszę zatem przyznać się do błędu, a w przyszłości postępować uważniej.

Z Uniwersytetu Stanowego w Dickinson w Dakocie Północnej nadszedł taki list: „Jestem zaszokowany, że choć poprawiło Panią co najmniej trzech matematyków, wciąż nie widzi Pani swojego błędu". Z Georgetown: „Ilu wzburzonych matematyków potrzeba, żeby zmieniła Pani zdanie?". A ktoś z Instytutu Badawczego Armii Stanów Zjednoczonych zauważył, że „jeśli wszyscy ci posiadacze doktoratów są w błędzie, to kraj jest w poważnych tarapatach". Listy napływały w takiej ilości i tak długo, że Marilyn, poświęciwszy sporo miejsca w swojej rubryce na omawianie całej sprawy, postanowiła w końcu, że nie będzie się tym więcej zajmować.

Wojskowy z doktoratem miał zapewne rację, gdy pisał, że jeśli wszyscy ci posiadacze doktoratów byli w błędzie, jest to oznaka, że wpadliśmy w tarapaty. [koniec cytatu] Bo …to Marilyn miała rację.

Tomek bardzo zgrabnie zilustrował rozwiązanie i słusznie zauważył, że najważniejsze jest spostrzeżenie, iż prowadzący WIEDZĄC gdzie jest samochód i otwierając drzwi z kozą ZMIENIŁ założenia zadania i ZWIĘKSZYŁ początkowe (1/3) prawdopodobieństwo trafienia aż dwukrotnie.

Zadanie spodobało mi się dlatego, że – prosto i przejrzyście – ilustruje nieintuicyjność matematyki (w tym przypadku rachunku prawdopodobieństwa) oraz sugeruje, że wcale nie mamy daru oceniania takich problemów za pomocą „chłopskiego rozumu”. Jeszcze ciekawszy jest problem, także z prawdopodobieństwa warunkowego, dwóch córek.

• Pewne małżeństwo ma dwoje dzieci i wiemy, że jedno z nich jest córką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie też jest córką?

Przestrzeń zdarzeń elementarnych dla dwójki dzieci jest (S,S), (S,C), (C,S), (C,C). Czyli prawdopodobieństwo, że małżeństwo ma 2 dziewczynki jest ¼. Jeśli WIEMY, że jedno z dzieci jest dziewczynką, zmienia to przestrzeń zdarzeń na: (S,C), (C,S), (C,C) i odpowiedź jest: ⅓. Prawdziwie ciekawie jest jednak po pewnej modyfikacji.

• Pewne małżeństwo ma dwoje dzieci i wiemy, że jedno z nich jest córką i ma na imię Filomena. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie też jest córką?

Wydaje się NIEMOŻLIWE, by fakt, iż córka ma na imię Filomena coś zmieniał. A jednak.

Przestrzeń wszystkich zdarzeń „z córką Filomeną” (CF – córka Filomena, CNF – córka nie Filomena) jest: (S,CF), (CF,S), (CF,CNF), (CNF,CF), (CF,CF). Niestety zdarzenia nie są równoprawdopodobne, ale możemy skorzystać z Filomeny. To rzadkie imię (dokładnych danych nie znam, ale załóżmy, że 1/100tys.) i prawdopodobieństwo zdarzenia (CF,CF) jest już prawie 0 (nawet nie uwzględniając faktu, że mało kto nazywa tak samo 2 córki). Bez większego błędu, można więc ograniczyć przestrzeń zdarzeń do: (S,CF), (CF,S), (CF,CNF), (CNF,CF) gdzie każde zdarzenie jest (z dobrym przybliżeniem, pod warunkiem, że CF jest bardzo małe) równowprawdopodobne. 2 na 4 dają dwie córki, więc odpowiedź jest: ½. Jak to możliwe, że aż tak skutecznie (zwiększyła prawdopodobieństwo z ⅓ do ½) „działa” Filomena? Otóż Filomena sprawnie „usuwa” bardzo prawdopodobne przypadki (CNF,CNF) – prawie ¼ oraz (S, CNF) i (CNF,S), a wcześniej (S,S) z przestrzeni zdarzeń. Pozostają (Uwaga! To najważniejsze) BARDZO RZADKIE małżeństwa z Filomeną, wśród których dwie córki wystąpią już często.

To jest, proszę Państwa, cholernie nieintuicyjne. Jak wiele problemów z rachunku prawdopodobieństwa, z matematyki w ogóle i z fizyki też. A także – niestety – jak wiele problemów z codziennego życia. W związku z tym gderanie o tym, „do czego jest nam potrzebna matematyka” uważam nie tylko za bezprzedmiotowe, ale i niebezpieczne.